目標。いわゆるコリオリの力や遠心力などの慣性力の導出はわりに面倒だと認識していたが、考えている 平面を複素平面と同一視するとかなり見通しがよくなることを知った。これをメモしておく。 図のように、慣性系 に対して、 軸の周りで、一定の角速度 で回…

目標. 杉浦光夫『解析入門I』（東京大学出版会）のp. 271, 定理9.8の 2)の証明にある は, 直感的には明らかだが, 基礎的なところだと感じたので, これを厳密に示す. は で連続. いま は閉だから 任意に をとる. ただし ここで および は開だから、十分小の …

雑記。この1年、振り返れば、数学に時間を割いたな、と思う。色々な本を読んだが、数学というのは既存の概念を、別の概念によって捉え直すことで拡張する、自らを再帰的に増幅させてきた学問なのだな、と感じることが多々あった。 一番に印象に残ったのは、2…

目標。座標軸を取り替えるためにはどうすればよいかを整理する。 いま考えている 次元線型空間 の基底を とする。この基底をまた別の の基底 に取り替えたい。 3次元の空間だとイメージしやすい： 任意の は と表せる。この式を、 を たちで測ったものだとみ…

目標。高校数学のいわゆる正射影ベクトルというのは、2本のベクトルがあったときに、一方のベクトルと他方のベクトルの単位ベクトルとの内積を取ることで、「影」のベクトルが分かるというものだったが、大学に入って線形代数を学ぶと、正射影という用語は、…

@1: 実数論: 加法と乗法の基本定理. @2: 微分法の概要: 極限, 連続, 微分可能, 連鎖律. @3: 有理関数の積分法, 2次無理関数の積分法, 計算演習. @4: 一変数ベクトル値関数の微分法: 微分可能の別定義, 閉区間の微分可能性, 埋め込み定理, 微分の中間値の定理…

問題 の 上での不等式条件付極値問題. 解答 とする. が極大点ならば, ある があって, かつ より とすると より ゆえ複号は負でなければならない このもとで だから ゆえに とすると このとき だが, これは に反する. よって が唯一の候補で, が閉ゆえこれは…

面積分の難問と噂の、笠原晧司先生の『微分積分学』（サイエンス社）、p.297の問2を解きました。忘れないうちにメモを残しておきます。もう二度とやることはない気もしますが。 PCとかiPadとか、画面の大きい媒体で見ることをお勧めします（式が長いので）。…

次の微分方程式を解く: 【解答】 とおくと, よって全微分型ではないが, となるから積分因子として がとれる. すなわち, は全微分型. 下線部を計算するために を求める: とおくと, ゆえに, であるが, とおけば, ゆえ したがって一般解は, （答） note 全微分…

笠原先生の『微分積分学』（サイエンス社）の陰関数定理の証明の整理. Them. (陰関数定理) の領域 で連続な2変数関数 があって, の1点 の近傍 で, について偏微分可能で, は で連続であるとする. もし, で なら, の十分小さい近傍 で, なる連続関数 が唯一つ…

今日は の話。だいたいどれほどの値なのか調べてみましょう。 台形近似 東大の過去問にこんな問があります: を満たす実数 に対し, 次を示せ. を利用して, を示せ。ただし, は の自然対数を表す. この問題のキモはもちろん で、 の凸性を利用して、2つの台形…

漸近展開がアツすぎるので。 漸近展開というのは、 のなんたら乗とか、 のなんたら乗などの「典型的な関数」たちで、複雑な関数の挙動を近似する展開方法のことです。これがなかなかエモいので記事を書きます。 言うより見てもらう方が早いので、たとえば、 …

微積分学でお世話になる小定理についての整理. Them. （底上げ定理） の十分小さい近傍では定義された関数 が, において連続で ならば, ある正の定数 が存在して, その近傍では （） ととればよい. しからば, いま は において連続だから, 十分小さい正数 を…

において, 点 の任意の -近傍が領域であることを示す. ある正数 が任意に与えられたとし, また任意に をとる. と をむすぶパラメータ線分 の台が, 先の -近傍につつまれることをいえばよい. とし, 任意にパラメータ をとる. しかして, の に応ずる点を とす…

赤攝也先生の『集合論入門』（ちくま学芸文庫）についてのメモ. 特性関数が一対一...みたいなところがよう分からんかったので, もう少しあからさまな証明をかいておく. だから, 示すべくは 任意に をとる. しからば, なる関数 がただ一つ定まる. このような …

気まぐれに作った問題をおいておくところです. 高校範囲で解けます. 1. は自然対数の底で, である. において, 次の不等式を示せ: を示せ. 2. とするとき, を微分し, 導関数をを用いて表せ. の第次導関数を求めよ.

回転して軸に関して折り返してまた回転して...はくどい. もっと簡単に求めたい. 以下, 2次元平面で話を進めるが, 3次元の場合でもまったく同様の議論ができる. ただし, 3次元空間の方向ベクトルを表わすのに3つ文字が要るし, ちょっと面倒なのでここでは書か…

毎回、主語を明確にする。相手の話でも、主語が抜けていれば、そのつどちゃんと確認する。 用語、文字、記号、図の定義をきっちり示す。どこから議論をスタートするのか、どういう意味でそれらを使っていくのか、は、最低限のマナーとして明らかにしなければ…

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この二ヶ月で, 線形代数についてたくさんのことを学んだ. そこで, 備忘録および理解の確認を兼ねて, 得たものをいちど書き出してみようと思う. 簡潔化の為, あえて証明はしない. 淡々と事実だけを述べていくし, また, いちいち文字を定義しなおすこともしな…

ロピタルの定理を繰り返し用いて, 関数について, 不定形→確定しない→有限確定値となって, かつ自身は有限確定値とならないような例を考えたのでメモしておきます. すなわち, ロピタルの定理を繰り返して用いている間に, 確定しないような関数が出てきた場合,…

自分用のメモです. あしからず. 運動方程式の変換 運動方程式 回転座標系 たいへんわかりやすい. https://physnotes.jp/mechanics/2d_rot_cor/

おもろい問題があったので. 問 1. 次の広義積分を求めよ. 2. 次の広義積分を求めよ. 3. 次の広義積分を求めよ.

不定積分の演習中に気づいたんですが, 手近な参考書やサイトに載っていなかったので, メモしておきます. ArcsinとArctanの関係 次の不定積分を考える: とりもなおさず, これはである. この不定積分を次のように求める: とおく. すると, したがって, ゆえに, …