而して

ノートとかメモとか。

the epis among posets are the surjections (Awodey, 2.8.9)

Reference. Awodey, S. (2010) Category Theory, Oxford: Oxford University Press, 2nd ed. 2011.

解答にsurjection ⇒ epi の証明しかなかったので, epi ⇒ surjection 側のメモをしておく（解答はおそらくepi ⇒ surjection を not epi ⇒ not surjection で取り違えている；つまり、解答はsurjection ⇒ epiの証明を二度与えていた）。この問題は、epi ⇒ surjection が本質的なので残念だった。

問題：objectがposetで, arrowがmonotone function（二つのposet (P, \leq _ {P}), (Q, \leq _ {Q})に関する集合間の写像 m:\,P \rightarrow Q であって, \forall a, b \in P\ \text{s.t.}\ a \leq _ {P} b ならば m(a) \leq _ {Q} m(b) を満たすもの；単調関数）であるようなcategory \mathbf{Pos} 上で, arrow f がepicならばsurjective (on elements)か？

この問題の意義のために, 考えているcategoryが \mathbf{Sets} の場合の epi ⇒ surjective の証明を書くと次のようになる：

（証明）arrow つまり function f:\,A \rightarrow B がnot surjectiveとすると \exists b \in B\ \text{s.t.}\ b \notin f(A). いま \mathbf{2} = \{0,1\} へのarrows g, h:\,B \rightarrow \mathbf{2} として, g = 0 _ {\mathbf{2}}! つまり x \mapsto 0 および h(x) = 1 \ \text{iff}\ x = b （ x = b だけ 1 をとって, x \neq b なら 0）とすれば g(b) \neq h(b) だから g \neq h であるが, x \neq b なら g(x) = h(x) だから gf = hf となって, f はnot epic. 終

対偶をとり, not surjectiveと仮定して得られる b \in B \backslash f(A) を元手に反例を構成していく流れで, g, h を b を入力したときだけ値が異なるように作ることでうまくいく。このように \mathbf{Sets} なら反例が作りやすいのだが, \mathbf{Pos} では上の証明の g, h をmonotoneであるように取る必要があるため, 少し工夫を凝らす。

（証明）arrow f:\, (A, \leq _ {A}) \rightarrow (B, \leq _ {B}) がnot surjectiveとすると \exists b \in B\ \text{s.t.}\ b \notin f(A). いま (\mathbf{2}, \leq) （なお \leq := \{(0,0),(0,1),(1,1)\}）へのarrows \varphi, \psi:\,(B, \leq _ {B}) \rightarrow (\mathbf{2}, \leq) を以下のように定める（ここからがこの問題の意義）：

B _ {b} = \{x;\,x \leq _ {B} b\} とすると b \in B _ {b}. このもとで \varphi(x) = 0\ \text{iff}\ x \in B _ {b} および \psi(x) = 0 \ \text{iff}\ x \in B _ {b} \backslash \{b\} とおく（ b 以下/未満なら 0 へ, そうでなければ 1 へ飛ぶようにしてある；そう考えればこれはmonotoneにみえる）. 実際にこれらはmonotoneか？

x \leq _ {B} y なる x, y \in B をとる. \varphi(x) = 1 \land \varphi(y) = 0 とすると x \notin B _ {b} かつ y \in B _ {b} ゆえ y \leq _ {Q} b だが x \leq _ {Q} y だから x \leq _ {Q} b となって x \in B _ {b} で不合理. したがって \varphi(x) \leq _ {Q} \varphi(y).

\psi(x) = 1 \land \psi(y) = 0 とすると x \notin B _ {b} \backslash \{b\} かつ y \in B _ {b} \backslash \{b\} つまり x \notin B _ {b} \lor x = b かつ y \leq _ {Q} b \land y \neq b ゆえ y \leq _ {Q} b と x \leq _ {Q} y から x \leq _ {Q} b より x \in B _ {b} だから x = b であるしかない. これを代入して y \leq _ {Q} b かつ b \leq _ {Q} y ゆえ y = b が得られるが, これは y \neq b に不合理. したがって \psi(x) \leq _ {Q} \psi(y).

作り方から \varphi(b) \neq \psi(b) ゆえ \varphi \neq \psi. いま x \neq b とする. \varphi(x) = 0 なら x \in B _ {b} ゆえ仮定を併せて x \in B _ {b} \backslash \{b\} だから \psi(x) = 0. \varphi(x) = 1 なら x \notin B _ {b} だから x \notin B _ {b} \backslash \{b\} で \psi(x) = 1. よって x \neq b \Longrightarrow \varphi(x) = \psi(x) ゆえ \varphi f = \psi f. よって f はnot epic. 終