而して

ノートとかメモとか。

近傍が領域であること

R^ n において, 点 \boldsymbol{a} の任意の \varepsilon-近傍 が領域であることを示す.

ある正数 \varepsilon が任意に与えられたとし, また任意に \boldsymbol{b},\ \boldsymbol{c} \in R^ n をとる. \boldsymbol{b} と \boldsymbol{c} をむすぶパラメータ線分 \varphi の台が, 先の \varepsilon-近傍につつまれることをいえばよい.

\boldsymbol{b}=(b _ 1, \cdots, b _ n), \boldsymbol{c}=(c _ 1, \cdots, c _ n) とし, 任意にパラメータ t _ 0 \in [ 0,1 ] をとる. しかして, \varphi の t _ 0 に応ずる点を \boldsymbol{p}=(p _ 1, \cdots, p _ n) とすると,

{ \begin{eqnarray} & &d(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{p})^ 2 = \textstyle\sum_{i=1}^ {n}{(a _ i - p _ i)^ 2}\\\\ &=& \textstyle\sum{(a _ i - (b _ i + (c _ i - b _ i)t _ 0))^ 2}\\\\ &=& \textstyle\sum{(a _ i - b _ i - (c _ i - a _ i + a _ i - b _ i)t _ 0))^ 2}\\\\ &=& \textstyle\sum{( (1 - t _ 0)(a _ i - b _ i) - {t _ 0}(c _ i - a _ i) )^ 2}\\\\ &=& (1 - t _ 0)^ 2\textstyle\sum{(a _ i - b _ i)^ 2} + {t _ 0}^ 2\textstyle\sum{(c _ i - a _ i)^ 2}\\\\ & &\ \ - 2(1 - t _ 0)t _ 0 \textstyle\sum{(a _ i - b _ i)(c _ i - a _ i)}\\\\ &\leqq& (1-t _ 0)^ 2\textstyle\sum{(a _ i - b _ i)^ 2} + {t _ 0}^ 2\textstyle\sum{(c _ i - a _ i)^ 2}\\\\ & & + 2(1-t _ 0)t _ 0 \sqrt{\textstyle\sum{(a _ i - b _ i)^ 2}\textstyle\sum{(c _ i - a _ i)^ 2}}\\\\ &\lt&(1-t _ 0)^ 2 \varepsilon^ 2+{t _ 0}^ 2 \varepsilon^ 2+2(1-t _ 0)t _ 0 \varepsilon ^ 2\\\\ &=&\varepsilon^ 2\{(1 - t _ 0)^ 2+2(1 - t _ 0)t _ 0+{t _ 0}^ 2\}\\\\ &=&\varepsilon^ 2. \end{eqnarray} }

したがって d(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{p}) \lt \varepsilon ゆえ, \boldsymbol{p} \in U_\varepsilon(\boldsymbol{a}). これが示したいことであった. 終