真偽値の変数 , およびその否定 をリテラルという。リテラル, およびリテラルを論理和 で繋げた論理式を節という。さらに, 節, および節を論理積 で繋げた論理式を節形式という。例えば, , はリテラル, , , は節, , , , は節形式。 変数 からなる節形式 があ…
Reference. Awodey, S. (2010) Category Theory, Oxford: Oxford University Press, 2nd ed. 2011. 概要 集合 から生成する最小の同値関係を とかく. のcoequalizerが, とするとき であることを示せ. を包む最小の同値関係 問にはさらに, この をと定めよ, …
A = " B = 'A = %s;' % (chr(34) + A + chr(34)) + A; print(B)"; B = 'A = %s;' % (chr(34) + A + chr(34)) + A; print(B)
Reference: Baier, Christel, and Joost-Pieter Katoen. Principles of Model Checking, MIT Press, 2008. Lemma 3.27の証明は, もう少し見通しよくできると思う。 Def. . 直感的には は を prefix にもつword 全体の集合である. この記法から, LT property …
Reference. Awodey, S. (2010) Category Theory, Oxford: Oxford University Press, 2nd ed. 2011. 解答にsurjection ⇒ epi の証明しかなかったので, epi ⇒ surjection 側のメモをしておく（解答はおそらくepi ⇒ surjection を not epi ⇒ not surjection で…
Def. Boolean algebra とは, poset と, その二つの要素 の組である. また, 上の二項演算 join: , meet: , および単項演算 complementation: が定義されており, これらは以下の要請を満たす： とするとき, ① ② ③ and ④ and ⑤ ⑥ . Remark. poset とは, 集合 と…
なる関数 を考える 。 同時に を考え, を定めると, これは極形式になっているから, となり, かつ だから, が従う。この右辺は でも実数値で定義される。分子を二項定理で展開すると, 二項係数を などと横向きに書けば, となるから, 次実係数多項式である。こ…
一様分布に従う確率変数 は、多くのプログラミング言語で容易に表現できる。たとえばPythonならば、random モジュールの random.random() を用いると 上の一様乱数を得ることができる。 つまり、確率変数を とするとき、 に対して とかくことができる。ここ…
加比の理を、 について, かつ ならば が成立つ とする人がいますが、例えば だから となるので誤りです。 いま、 （＊） が成立するので、 （＊＊） であることから、 ① なら（このときは ）、（＊）から であるので （＊＊）の右辺が成立して○。 ② なら（こ…
〔参考文献：Williram Feller（河田龍夫ら訳）『確率論とその応用Ⅰ（上巻）』紀伊国屋書店, 2001.〕 （離散）標本集合を とし、その部分集合である 個の事象 を考える。「ちょうど 個の事象のみが起こる」という事象 の起こる確率は、 とおくとき（ は 次の…
有名問題。 ある刑務所長は3人の囚人の中からランダムに1人を選んで解放し, 残りの2人を処刑する. 看守は誰が解放されるか知っているが, どの囚人にも彼が開放されるかどうか教えることは禁止されている. 囚人を と呼ぶことにしよう. は看守に か のどちらが…
有名問題。 あなたはあるクイズショウの参加者である. 3つあるカーテンのうちの1つの後ろに賞品が隠されていて, 正しいカーテンを選べばこの賞品を獲得できる. あなたが1つのカーテンを選んだ後, そのカーテンを引き上げる前に司会者は残りのカーテンの中か…
面白い証明を見つけたのでメモします。出典は↓ math.stackexchange.com 任意の と整数 , について, を示せ. 証明. まず, 任意の整数 と実数 について, 同値 を示す. だから は明らか. 逆に ならば, ceil関数の定義から として かつ であるから . したがって,…
（問題） を求めよ. （コメント）ついさっき締切られたレポートの問題を解くのに必要になった問です。僕なんかはこれ「 で、 のとき みたいなものだから だ」と高を括ってしまいましたが、そうじゃないんですね。答を見れば分かりますが、 の方が よりも減り…
を求めたいと思います。大学1年生で習う の置換でも解けますが、複素積分で解くと気持ち良いです。 （解答） 被積分関数を部分分数分解する. で両辺の分母を払えば, となるので, の係数を両辺で比較すれば, それぞれ , を得る. 行列で書けば, となる. 左辺の…
という公式を見ると少し尻込みしますが、案外大切な公式（特に を考えるとき）なので、メモをしておきます（Googleで調べてみたけど意外と記事がなかった）。 まず、一般に というのは、「 なるすべての に対する の和」という意味です。集合 を決定する条件…
珍しく情報数学の話。なんとなくQiitaに載せたけど、数学でもあるからこちらにも載せておく。 qiita.com
どこかの予備講師が授業終了前10分で証明してたと聞いたことがあって、俺もやりたくなった。 素数 の倍数でない整数 に対し, （証明） に対して を で割った余りを とするとき, は で割り切れないので, 次に, が相異なることを示す: ならば . 対偶を示す. な…
Reference: 雪江明彦『代数学1 群論入門』日本評論社, 2010. もう解答をまとめたファイルを貼った方がいいような気もしてきましたが、演習2.10.5の解答をメモとして書いておきます。 問題（改変） の指数 の部分群の数を求めよ. ただし は素数. （解答） を …
耳コピがしたくてネットを色々探し回って、曲のキーの探し方がなんとなく分かったのでメモ。 ① （メジャー）ペンタトニックスケールを覚える ② 曲の一部を聴いて、一番低い音を4つくらい確定させる ③ ペンタトニックスケールの6弦の間隔からキーを絞り込む ④…
2189 1940 2113 1058 3384 3403 1058 3384 2634 1968 2189 1990 (n=5917, e=7)
計算力をつけるための中高生向けのトレーニングとして、中国式剰余定理の問題を使うのはどうだろうか、という話を書きます。ただし、僕は教育論をまったく知らないので、あくまで素人の意見です。 「中国式剰余定理」と聞くと物凄く難しそうに聞こえますが、…
Reference: 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』日本評論社, 2010. 代数を学び始めてから、最近、同じ問題をずっと考え続けている事が多い。実数論や解析の場合、信じられない結果や定理が得られたとしても、自明とはいえない「連続性の公理」の輸入を認…
Reference: 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』日本評論社, 2010. 定理2.12.11の証明で、最後の だけ何でそうなるのかずっと分からなくて、それはもうずっと考えていたんですが、単純に線形代数の話だったので、戒めとしてメモをしておきます。 （補題…
代数学のいわゆる典型問題だと思われるのですが、ちゃんと理解できたのでメモを残しておきます。 問題 代数の準同型 について, の生成元は？ 解答 記法の便宜で などを とか などとかく. いま をとって, で割り算すれば と表せる. を （ のみで, かつ に属す…
https://nog.hatenadiary.jp/entry/2020/06/13/102034 これを解答します. 厳密にはやりませんが, 発想が面白いので書いておきます. （説明）任意の整数 について, その逆数の小数展開は の形をしている. ここで, 両辺を 倍すれば を得る. 他方, 倍すれば で…
ジョーカーをのぞいたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し, 表を見ないで箱の中にしまった. そして, 残りのカードをよくきってから3枚抜きだしたところ, 3枚ともダイヤであった. このとき箱の中のカードがダイヤである確率を求めよ. [早大] という入…
任意の整数 について, ある をとれば, となることを示せ. ただし . 解答は下です。余談ですけど、あっちにはここへのリンクが貼ってあって、相互参照感がちょっと面白いですね。 https://nog.hatenadiary.jp/entry/2020/06/25/234802
杉浦光夫先生の『解析入門II』（東京大学出版会）の、第Ⅳ章 §3（条件付極値問題）の演習問題の解答を作ってみました。よかったら。
目標。二次曲面 の接平面の方程式を求める。 準備 道具を揃えておこうと思う。まず、 を の実変数ベクトル値関数として 証明はやさしい。 また、 は定数行列で, とするとき とくに 二次曲面の接平面 は対称行列: で、 とするとき なる の集合を二次曲面とい…
