線形代数 - 而して

この二ヶ月で, 線形代数についてたくさんのことを学んだ. そこで, 備忘録および理解の確認を兼ねて, 得たものをいちど書き出してみようと思う.

簡潔化の為, あえて証明はしない. 淡々と事実だけを述べていくし, また, いちいち文字を定義しなおすこともしない.

部分ベクトル空間. $V$ を線型空間とし, $K$ を数体とするとき, 次の条件を満たす $V$ の部分集合 $W$ を部分ベクトル空間という: 「任意の $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in W$ と $\lambda, \mu \in K$ について, $\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b} \in W$ . 」

基底. $W$ は部分ベクトル空間とする. $\boldsymbol{b _ 1}, \cdots, \boldsymbol{b _ k}$ が線型独立であって, 任意の $\boldsymbol{x} \in W$ が $\boldsymbol{b _ 1}, \cdots, \boldsymbol{b _ k}$ の線型結合でかけるとき, $\boldsymbol{b _ 1}, \cdots, \boldsymbol{b _ k}$ を基底といい, $\langle \boldsymbol{b _ 1}, \cdots, \boldsymbol{b _ k} \rangle$ と表わす. またこのとき, $W$ は $\boldsymbol{b _ 1}, \cdots, \boldsymbol{b _ k}$ で張られるという.

とりかえ定理によって, 部分ベクトル空間の基底の本数は一定であることが証明される.

次元. $W$ が $\boldsymbol{b _ 1}, \cdots, \boldsymbol{b _ k}$ で張られるとき, その基底の本数 $k$ を次元といい, $\dim{W}$ で表わす.

次元定理. $W _ 1, W _ 2$ を部分ベクトル空間とするとき, $\dim{W _ 1}+\dim{W _ 2}=\dim{(W _ 1 + W _ 2)}+\dim{(W _ 1 \cap W _ 2)}.$ とくに, $W _ 1, W _ 2$ が直和条件を満たすならば, $\dim{W _ 1}+\dim{W _ 2}=\dim{(W _ 1 \dot{+} W _ 2)}$ であって, 逆も成り立つ.

線形写像の次元定理. $\varphi$ を $n$ 次元ベクトル空間 $V _1$ から $m$ 次元ベクトル空間 $V _ 2$ への線形写像とすると, $\dim{\ker{\varphi}}+\mathrm{rank}\ \varphi=n.$

線形写像. 写像 $\varphi$ が次の条件を満たすとき, 線形写像であるという: 「 $\varphi(\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})=\lambda\varphi(\boldsymbol{a})+\mu\varphi(\boldsymbol{b}).$ 」

像. 集合 $\{\varphi(\boldsymbol{x}); \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{K} ^ n\}$ を $\varphi$ の像といい, $\mathrm{Im}\ \varphi$ で表わす. 線形写像の像は部分ベクトル空間である. 値域ともいう.

核. 集合 $\{ \boldsymbol{x}; \varphi(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{o} \}$ を $\varphi$ の核といい, $\ker{\varphi}$ で表わす.

全射, 単射, 双射. $\varphi$ を $\boldsymbol{K} ^ n$ から $\boldsymbol{K} ^ m$ への線形写像とする. $\mathrm{Im}\ \varphi$ が $\boldsymbol{K} ^ m$ 全体であるとき, $\varphi$ を全射といい, $\boldsymbol{K} ^ n$ の異なる元が $\varphi$ で写されても必ず異なるとき, $\varphi$ は単射であるという. 全射かつ単射のとき, 双射であるという.

階数. 像の次元を階数といい, $\mathrm{rank}\ {\varphi}$ で表わす. すなわち, $\mathrm{rank}\ {\varphi}=\dim{\mathrm{Im}\ \varphi}$ である.

正則. 線形写像 $\varphi$ が逆写像を持つとき, すなわち, $\varphi\psi=\psi\varphi=I$ なる $\psi$ が存在するとき, $\varphi$ は正則であるという. $\varphi$ が双射ならば, 逆写像が存在するから正則である.

正則に関する同値条件. 次の三つの条件は互いに同値である:「線形写像 $\varphi$ が単射である」「 $\ker{\varphi}=\{\boldsymbol{o}\}$ 」「 $\varphi$ が $\boldsymbol{K} ^ n$ の任意の線型独立なベクトル列を $\boldsymbol{K} ^ m$ の線型独立なベクトル列へ写す」

さらに, $m$ が $n$ であるとき, 「 $\varphi$ が単射である」「 $\varphi$ が全射である」「 $\varphi$ が双射である」「 $\varphi$ が正則である」は同値である.

また, $n$ 次正方行列 $A, B$ について, 「 $A$ に対し $AB=I$ を満たす $B$ が存在するならば, $A$ は全射である」「 $A$ に対し $BA=I$ を満たす $B$ が存在するならば, $A$ は単射である」が成立することから, ある行列 $A$ が正則であるかどうかをみるのは, $AB=I, BA=I$ のいずれか一方だけでよいことがわかる.

執筆中.

参考文献: 笠原晧司著『線形代数学』(サイエンス社), 有馬哲著『線型代数入門』(東京図書)