ロピタルの定理を繰り返し用いて, 関数 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ について, 不定形→確定しない→有限確定値となって, かつ $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 自身は有限確定値とならないような例を考えたのでメモしておきます.

すなわち, ロピタルの定理を繰り返して用いている間に, 確定しないような関数が出てきた場合, ロピタルの定理が成立しないような例を見つけたということです.

失敗例

たとえば,

${ \ \ f(x)=2x-2\sqrt{x}\sin{2\sqrt{x}}-\cos{2\sqrt{x}}, \\ \ \ g(x)=(x-3)(\sin{\sqrt{x}}+2)+3\sqrt{x}(\cos{\sqrt{x}}+\sqrt{x}) }$

とし, $\displaystyle h(x)=f(x)/g(x)$ とおくと, $h(x)$ は $x \to \infty$ のとき $\displaystyle \infty/\infty$ の不定形であるが, 分母分子を $x$ で割れば,

$\displaystyle \frac{2-\frac{2}{\sqrt{x}}\sin{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}\cos{2\sqrt{x}}}{\left(1-\dfrac{3}{x}\right)(\sin{\sqrt{x}}+2)+\frac{3}{\sqrt{x}}\cos{\sqrt{x}}+3}$

となって, 振動するのは明らか. したがって $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{h(x)}$ は存在しない.
ところで,

$\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=-8\cdot\frac{\sin^2{\sqrt{x}}}{\sin{\sqrt{x}-\sqrt{x}\cos{\sqrt{x}}+5}}=-8\cdot\frac{\frac{\sin^2{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{\frac{\sin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\cos{\sqrt{x}}+\frac{5}{\sqrt{x}}}$

であるから, $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{f^{\prime}(x)/g^{\prime}(x)}$ も存在しない.
しかるに,

$\displaystyle \frac{f^{\prime\prime}(x)}{g^{\prime\prime}(x)}=16\cdot\frac{\cos{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

であって,

$\displaystyle \left|\frac{\cos{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\right|\leq\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0\ (x\to\infty)$

ゆえ, $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{f^{\prime\prime}(x)/g^{\prime\prime}(x)}$ は存在して, $0$ に収束する.
したがって, 例としては,

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x-2\sqrt{x}\sin{2\sqrt{x}}-\cos{2\sqrt{x}}}{(x-3)(\sin{\sqrt{x}}+2)+3\sqrt{x}(\cos{\sqrt{x}}+\sqrt{x})}.$

もっと簡潔な例があれば教えてほしいです.

而して

ノートとかメモとか。

ド・ロピタルの定理の失敗例

失敗例