而して

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陰関数定理

笠原先生の『微分積分学』(サイエンス社)の陰関数定理の証明の整理.

Them. (陰関数定理)

 \boldsymbol{R}^ 2 の領域  \Omega で連続な2変数関数  F(x,\ y) があって,  \Omega の1点  \boldsymbol{x_0}=(x_0,\ y_0) の近傍  U で,  y について偏微分可能で,  F_y(x,\ y) U で連続であるとする.

 (\mathrm{i}) もし,  F(x_0,\ y_0)=0 F_y(x_0,\ y_0)\neq 0 なら,  \boldsymbol{x_0} の十分小さい近傍  V で,

 {
\begin{equation}
y_0=f(x_0) \land F(x,\ f(x))=0
\end{equation}
}

なる連続関数  y=f(x)\ ( (x,\ y) \in V) が唯一つ存在する.

 (\because)  x_0 の近傍を  U_1,  y_0 の近傍を  U_2 とする. しかして,  U_1 \times U_2 \subset U なるようにする.

 \displaystyle y _ n = y _ {n-1}-\frac{F(x,\ y _ {n-1})}{F _ y(x _ 0,\ y _ 0)}

という逐次近似を想定して,

 \displaystyle \phi(\varphi)(x)=\varphi(x)-\frac{F(x,\ \varphi(x))}{F _ y(x _ 0,\ y _ 0)}

とおこう. 不動点定理から,  \varphi=\phi(\varphi) なる  \varphi を導けばよいのだが, そのために少しく準備をしておく:

 M:=F _y(x_0,\ y_0) とおいておく.  \varphi の範囲をせばめていって, それを  \mathscr{F} とするとき,  \phi \mathscr{F} \to \mathscr{F} の縮小写像で, かつ  \mathscr{F} が完備になるようにしたい. その  \mathscr{F} をどう決めるかはちょっと後回しにして, まずは,  \phi(\varphi)(x) y _ 0 の差について考えてみよう.

 \displaystyle \phi{(\varphi)(x)-y _ 0 = \varphi(x) - y _ 0 - \frac{F(x,\ \varphi(x))}{M}}\ \ (\ast)

であり, Lagrangeの平均値の定理より,

 \displaystyle F(x,\ \varphi(x))=F(x,\ y _ 0)+F _ y(x,\ \xi _ 1(x))(\varphi(x)-y _ 0)\ \ (1)

なる  \xi _ 1(x) が,  y _ 0 \varphi(x) の間にとれる.

しかるに,  F _ y(x,\ y) U _ 1 \times U _ 2 で連続だから,  F _ y(x _ 0,\ y _ 0) にいくらでも近づけられるし, さらに,  F(x,\ y) が連続であることから, これは  F(x _ 0,\ y _ 0) , つまり  0 にいくらでも近づけられる.

これら2点をかんがみて,  (1) を次にように変形する:

 F(x,\ \varphi(x))=F(x,\ y _ 0)+(F _ y(x,\ \xi _ 1(x))-M)(\varphi(x)-y _ 0)+M(\varphi(x)-y _ 0)\ \ (2)

そこで,  U _ 2 [y _ 0-\delta,\ y _ 0+\delta] と閉区間にしておく. しかして,  \mathscr{F} を,  \varphi(x _ 0)=y _ 0 なる,  U _ 1 から  U _ 2 への連続関数  \varphi 全体の集合と定める. そうすれば,  \phi \mathscr{F} \to \mathscr{F}写像であることを示すために任意に  \varphi \in \mathscr{F} をとるとき,

 |\varphi(x)-y _ 0| \leqq \delta \ (x \in U _ 1)

が成り立つ.  \phi : \mathscr{F} \to \mathscr{F} を示すには, これを元手に  |\phi(\varphi)(x)-y _ 0|\leqq \delta をいえばよいことになるが,  (\ast) (2) を代入して,

 \displaystyle {
\begin{eqnarray}
& &\phi(\varphi)(x)-y _ 0\\
&=&\varphi(x)-y _ 0-\frac{1}{M}F(x,\ y _ 0)-\frac{1}{M}(F _ y(x,\ \xi _ 1(x))-M)(\varphi(x)-y _ 0)-(\varphi(x)-y _ 0)\\
&=&-\frac{1}{M}(F(x,\ y _ 0)+(F _ y(x,\ \xi _ 1(x))-M)(\varphi(x)-y _ 0)).
\end{eqnarray}
}
 \displaystyle {
\begin{eqnarray}
\therefore |\phi(\varphi)(x)-y _ 0| &\leqq& \frac{1}{|M|}(|F(x,\ y _ 0)|+|F _ y(x,\ \xi _ {1}(x) )-M|\cdot |\varphi(x)-y _ 0|) \\
&\leqq& \frac{1}{|M|}(|F(x,\ y _ 0)|+|F _ y(x,\ \xi _ 1(x) )-M|\cdot\delta).
\end{eqnarray}
}

最右辺はいくらでも小さくできるのだから, もちろん  \delta 以下にもできる. ゆえに,  \phi \mathscr{F} \to \mathscr{F}写像であることがわかった.

次に,  \phi が縮小写像であることを示す. 任意に  f,\ g \in \mathscr{F} をとって進もう:

 {
\begin{eqnarray}
& &|\phi(f)(x)-\phi(g)(x)|\\
&=&\left|f(x)-\frac{F(x,\ f(x))}{M}-g(x)+\frac{F(x,\ g(x))}{M}\right|\\
&=&\left|f(x)-g(x)-\frac{1}{M}(F(x,\ f(x))-F(x,\ g(x)))\right|.
\end{eqnarray}
}

しかるに, 平均値の定理によって

 F(x,\ f(x))-F(x,\ g(x))=F _ y(x,\ \xi _ 2(x))(f(x)-g(x))

なる  \xi _ 2 f(x) g(x) の間に存在する.

上でも述べた通り,  F _ y(x,\ y) はいくらでも  M に近づけられるのだから,

 \displaystyle |\phi(f)(x)-\phi(g)(x)|=\underline{\left|1-\frac{1}{M}F _ y(x,\ \xi _ 2(x))\right|}\cdot|f(x)-g(x)|

の下線部は  \rho \in [0,\ 1[ よりも小さくできる. つまり,

 |\phi(f)(x)-\phi(g)(x)| \leqq \rho|f(x)-g(x)| \leqq \rho||f-g|| _ 0

で, 両辺で  \displaystyle \sup_{x \in U _ 1} をとれば,

 ||\phi(f)-\phi(g)|| _ 0 \leqq \rho||f-g|| _ 0

がしたがう. これは  \phi が縮小写像であることに他ならない.

最後に  \mathscr{F} が完備であることをいう. ただ,  \mathscr{F} \subseteq C ^ {0}(U _ 1) だから,  \mathscr{F} でCauchy列をつくれば, それは収束列にはなる. その極限関数を  f(x) としたとき,  f(x _ 0) = y _ 0 であることも分かる.

残る問題は  f \in \mathscr{F} であるかどうかなのだが, たとえば任意に  f _ n \in \mathscr{F} をとって,  x \in U _ 1 を固定して  f _ n(x) をみていくとき,  U _ 2 を閉区間としてとっておいたから  \displaystyle \lim _ {n \to \infty}{a _ n} \in U _ 2. この  x U _ 1 でいろいろ変えても結論は変わらないのだから, 関数列  \{f _ n\} _ {n=1,\ 2,\ \cdots} の各点収束先  g \mathscr{F} に属する. しかして,  U _ 1 で,  f _ n \rightrightarrows f であるのに  f _ n \to f でない, などということはありえないから,  g=f かつ  g \in \mathscr{F} ゆえ  f \in \mathscr{F}. よって  \mathscr{F} は完備でなければならない.

以上の推論から, 不動点定理が使える. すなわち, いまの  U _ 1 \times U _ 2 V とすれば,

 f(x)=\phi(f)(x) \Leftrightarrow F(x,\ f(x))=0\ (x \in V)

なる  f が, 唯一つ存在する. 終

 (\mathrm{ii}) さらに,  F x について偏微分可能ならば,  f \boldsymbol{x _ 0}微分可能で,

 \displaystyle f^{\prime}(x _ 0)=-\frac{F _ x(x _ 0,\ y _ 0)}{F _ y(x _ 0,\ y _ 0)}.

 (\because)  F偏微分可能であって, 少なくとも  F _ y \boldsymbol{x _ 0} で連続だから,  F \boldsymbol{x _ 0}微分可能であって,

 F(x,\ y)=F(x _ 0,\ y _ 0)+\alpha(x,\ y)(x-x _ 0)+\beta(x,\ y)(y-y _ 0)

なる,  \boldsymbol{x _ 0} で連続な関数  \alpha,\ \beta がある. しかるに,  (\mathrm{i}) から,

 {
\begin{eqnarray}
& &0=F(x,\ f(x))=F(x _ 0,\ y _ 0)+\alpha(x,\ f(x))(x-x _ 0)+\beta(x,\ f(x))(f(x)-f(x _ 0))\\
&\Leftrightarrow&-\beta(x,\ f(x))(f(x)-f(x _ 0))=\alpha(x,\ f(x))(x-x _ 0)
\end{eqnarray}
}

であり, いま  \beta(x,\ f(x)) x _ 0 で連続, かつ  \beta(x _ 0,\ f(x _ 0))\neq0 より, 十分小さい近傍  U(x _ 0) をとれば,  \beta(x,\ f(x))\neq0\ (x \in U(x _ 0)) とできる.

このとき,

 \displaystyle f(x)=f(x _ 0)-\frac{\alpha(x,\ f(x))}{\beta(x,\ f(x))}(x-x _ 0)

であって,  \displaystyle -\frac{\alpha(x,\ f(x))}{\beta(x,\ f(x))} x _ 0 で連続だから,  f x _ 0微分可能で,

 \displaystyle f^{\prime}(x _ 0)=-\frac{F _ x(x _ 0,\ y _ 0)}{F _ y(x _ 0,\ y _ 0)}.