而して

ノートとかメモとか。

ArcsinとArctanの関係

不定積分の演習中に気づいたんですが, 手近な参考書やサイトに載っていなかったので, メモしておきます.

ArcsinArctanの関係

次の不定積分を考える:

{\displaystyle
\begin{equation}
  F(x)=\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^ 2}}}dx.\ (-1 < x < 1)
\end{equation}
}

とりもなおさず, これは \mathrm{Arcsin}\ xである. この不定積分を次のように求める:
 \displaystyle t = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}とおく. すると,

 {
\begin{eqnarray*}
  t^ 2(1-x)&=&(1+x)\\
  \Leftrightarrow (1+t^ 2)x&=&t^ 2-1 \\
  \Leftrightarrow x &=& \frac{t^ 2-1}{t^ 2+1} = 1-\frac{2}{t^ 2+1}.
\end{eqnarray*}
}
 \displaystyle \therefore dx = -2 \cdot (-1) \cdot \frac{2t}{(t^ 2+1)^ 2}dt,\ 1-x=\frac{2}{t^ 2+1}.

したがって,

 {\displaystyle
\begin{eqnarray*}
  F(x)&=&\int{\frac{1}{\frac{2}{t^2 +1}\cdot t} \cdot \frac{4t}{(t^ 2+1)^ 2}}dt\\
  &=&\int{\frac{2}{t^ 2+1}}dt\\
  &=&2\mathrm{Arctan}\ t\\
  &=&2\mathrm{Arctan} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.
\end{eqnarray*}
}

ゆえに, ある定数 Cがあって,

 \displaystyle \mathrm{Arcsin}\ x = 2\mathrm{Arctan}\ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+C.\ (-1 < x < 1)

この Cを求めるために, 上の式でたとえば  x=1/2とすると,

 \displaystyle \frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{\pi}{3}+C.\ \therefore C=-\frac{\pi}{2}.

よって, 次式が得られる:

 \displaystyle \mathrm{Arcsin}\ x=2\mathrm{Arctan}\ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-\frac{\pi}{2}.\ (-1 < x < 1)

ところで, この式に x=-1を代入すると,  -\pi/2=0-\pi/2となってこれは正しい. すなわち,  x=-1において定義域を拡げることができて,

 \displaystyle \mathrm{Arcsin}\ x=2\mathrm{Arctan}\ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-\frac{\pi}{2}\ (-1 \leq x < 1)

が得られる.

ほかの関係

まったくの蛇足ですが(もっといえばこの記事自体がそうですが), 上の式から次のような関係式を求めることもできます.

ArccosArctanの関係

 \mathrm{Arcsin}\ x+\mathrm{Arccos}\ x=\pi/2を用いて, ArccosArctanの関係を求める. この恒等式自体は定義と余角公式から容易に導けるから, その証明は省略する. 上で得られた式で,  x -xに取りかえれば,

 \displaystyle -\mathrm{Arcsin}\ x=2\mathrm{Arctan}\ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}-\frac{\pi}{2}\ (-1 < x \leq 1)

となる. したがって, 先のArcsinArccosの関係式から,

 \displaystyle \mathrm{Arccos}\ x=2\mathrm{Arctan}\ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\ (-1 < x \leq 1)

が得られる.

ArcsinArccosArctanの関係

先のArcsinArccosの関係式から,

 \displaystyle 2\mathrm{Arcsin}\ x+\mathrm{Arccos}\ x=2\mathrm{Arctan}\ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.\ (-1 \leq x < 1)

ArcsinArctanの関係

上の2つの式から, 結局,

 \displaystyle 2\mathrm{Arcsin}\ x+2\mathrm{Arctan}\ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}=2\mathrm{Arctan}\ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\ (-1 < x < 1)

ゆえ,

 \displaystyle \mathrm{Arcsin}\ x=\mathrm{Arctan}\ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-\mathrm{Arctan}\ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}.\ (-1 < x < 1)

キリがないのでここでお終い.