ArcsinとArctanの関係
不定積分の演習中に気づいたんですが, 手近な参考書やサイトに載っていなかったので, メモしておきます.
ArcsinとArctanの関係
とりもなおさず, これはである. この不定積分を次のように求める:
とおく. すると,
したがって,
ゆえに, ある定数があって,
このを求めるために, 上の式でたとえば とすると,
よって, 次式が得られる:
ところで, この式にを代入すると, となってこれは正しい. すなわち, において定義域を拡げることができて,
が得られる.
ほかの関係
まったくの蛇足ですが(もっといえばこの記事自体がそうですが), 上の式から次のような関係式を求めることもできます.
ArccosとArctanの関係
を用いて, ArccosとArctanの関係を求める. この恒等式自体は定義と余角公式から容易に導けるから, その証明は省略する. 上で得られた式で, をに取りかえれば,
となる. したがって, 先のArcsinとArccosの関係式から,
が得られる.
ArcsinとArccosとArctanの関係
ArcsinとArctanの関係
上の2つの式から, 結局,
ゆえ,
キリがないのでここでお終い.