而して

ノートとかメモとか。

底上げ定理と埋め込み定理

微積分学でお世話になる小定理についての整理.

Them. （底上げ定理）

$x=x _ 0$ の十分小さい近傍では定義された関数 $f$ が, $x _ 0$ において連続で $f(x_ 0) \gt 0$ ならば, ある正の定数 $c$ が存在して, その近傍では $f(x) \gt c.$

（ $\because$ ） $c=f(x_ 0)/2( \gt 0)$ ととればよい. しからば, いま $f$ は $x_0$ において連続だから, 十分小さい正数 $\delta$ をえらんで, いかなる $x \in U _ {\delta}(x _ 0)$ についても

$|f(x)-f(x_ 0)| \lt f(x _ 0)/2$

ならしめることができよう. しかして,

$f(x)>f(x _ 0)-f(x _ 0)/2=f(x _ 0)/2=c$

がしたがう. 終

Them. （埋め込み定理）

ある $x=c$ の近傍 $U(c)$ で定義された関数 $f$ が,

$1°\ \tilde{U}(c)$ で $f$ は微分可能

$2°\ x=c$ で $f, f{^\prime}$ は連続

ならば, $f$ は $x=c$ で微分可能.

（ $\because$ ） $x \in \tilde{U}(c)$ をとれば, ラグランジュの平均値の定理から,

$\displaystyle \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f{^\prime}(\xi)$

なる $c \lessgtr \xi \lessgtr x$ が存在する.

しかるに, $f{^\prime}$ は $c$ において連続だから, $x \rightarrow c$ ならしめれば $\xi \rightarrow c$ ゆえ $f{^\prime}(\xi) \rightarrow f{^\prime}(c)$ であって,

$\displaystyle \lim_{x \to c}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}=f{^\prime}(c).$ 終