直線への正射影と表現行列

回転して $x$ 軸に関して折り返してまた回転して...はくどい. もっと簡単に求めたい.

以下, 2次元平面で話を進めるが, 3次元の場合でもまったく同様の議論ができる. ただし, 3次元空間の方向ベクトルを表わすのに3つ文字が要るし, ちょっと面倒なのでここでは書かない.

正射影

点 $(x,y)$ を直線 $y=ax$ に正射影した点を $(x^ \prime,y^ \prime)$ とする.

直線の方向余弦は, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^ 2+1}}\begin{bmatrix}1 \\ a\end{bmatrix}$ であるから, 正射影を表わす点ベクトルは,

${ \displaystyle \begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} x^ \prime \\ y^ \prime \end{bmatrix} &=&\frac{1}{\sqrt{a^ 2+1}} \begin{bmatrix} 1 \\ a \end{bmatrix} \cdot ( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} |\frac{1}{\sqrt{a^ 2+1}} \begin{bmatrix} 1 \\ a \end{bmatrix})\\ &=&\frac{x+ay}{a^ 2+1} \begin{bmatrix} 1 \\ a \end{bmatrix}. \end{eqnarray*} }$

表現行列

これから1次変換の表現行列を求められる. 実際,

${\displaystyle \begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} x^ {\prime} \\ y^ {\prime} \end{bmatrix} &=&\frac{x+ay}{a^ 2+1} \begin{bmatrix} 1 \\ a \end{bmatrix} =\frac{1}{a^ 2+1} \begin{bmatrix} x+ay \\ ax+a^ 2y \end{bmatrix}\\ &=&\frac{1}{a^ 2+1} \begin{bmatrix} 1 & a \\ a & a^ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{eqnarray*} }$