メモ（境界）

目標. 杉浦光夫『解析入門I』（東京大学出版会）のp. 271, 定理9.8の 2)の証明にある $A-B \subset A ^ {\circ}$ は, 直感的には明らかだが, 基礎的なところだと感じたので, これを厳密に示す.

$\varphi, \psi: I \rightarrow \boldsymbol{R}$ は $I$ で連続.

$A=\{z; x \in I \land y \in [\psi(x),\ \varphi(x)]\}.$

$B=\Gamma _ {\varphi} \cup \Gamma _ {\psi} \cup S.$

$S=\{(x,\ y) \in \boldsymbol{R} ^ {n+1}; x \in I ^ {b} \land y \in [\psi(x),\ \varphi(x)]\}.$

$\Gamma _ {\varphi}=\{(x,\ y) \in \boldsymbol{R} ^ {n+1}; x \in I \land y=\varphi(x)\}.$

$\Gamma _ {\psi}=\{(x,\ y) \in \boldsymbol{R} ^ {n+1}; x \in I \land y=\psi(x)\}.$

いま $I$ は閉だから $I=\bar{I}=I ^ {\circ} \dot{+} I ^ {b}.$

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${ \displaystyle \begin{eqnarray} & & B ^ {c}=\Gamma _ {\varphi} ^ {c} \cap \Gamma _ {\psi} ^ {c} \cap S ^ {c}\\ &=&\{z; x \notin I \lor y \neq \varphi(x) \} \cap \\ & &\ \ \{z; x \notin I \lor y \neq \psi(x) \} \cap \\ & &\ \ \{z; x \notin I ^ {b} \land y \notin [\psi(x),\ \varphi(x)]\}\\ &=&\{z;(x \notin I \lor y \neq \varphi(x),\ \psi(x)) \land (x \notin I ^ {b} \lor y \notin [\psi(x),\ \varphi(x)])\}\\ &=&\{z; x \notin I \lor (x \notin I \land y \notin [\psi(x),\ \varphi(x)]) \\ & &\ \ \lor (x \notin I ^ {b} \land y \neq \varphi(x),\ \psi(x)) \lor y \notin [\psi(x),\ \varphi(x)]\}\\ &=&\{z; x \notin I \lor (x \notin I ^ {b} \land y \neq \varphi(x),\ \psi(x)) \lor y \notin [\psi(x),\ \varphi(x)]\}\\ &=&\{z; x \notin I ^ {b} \land y \neq \varphi(x),\ \psi(x)\}. \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \\ & & \therefore A-B=A\cap B ^ {c}\\ &=&\{z; x \in I \land y \in [\psi(x),\ \varphi(x)]\} \cap \{z; x \notin I ^ {b} \land y \neq \varphi(x),\ \psi(x)\}\\ &=&\{z; x \in I ^ {\circ} \land y \in ]\psi(x),\ \varphi(x)[\}. \end{eqnarray}\\ }$

任意に $(x,\ y)=(x _ 1, \cdots, x _ n, y) \in A-B$ をとる. ただし $(x _ 1, \cdots, x _ n) \in I ^ {\circ}, y \in ]\psi(x),\ \varphi(x)[.$ ここで $I ^ {\circ}$ および $[\psi(x),\ \varphi(x)]$ は開だから、十分小の $\varepsilon > 0$ をとれば