不等式の条件付き極値問題

問題

$f(x,y)=y-x$ の $\Omega=\{(x,y); |x| ^ 3+y ^ 3 \leqq 1,\ y \geqq 0\}$ 上での不等式条件付極値問題.

解答

$g _ 1=1-(|x| ^ 3+y ^ 3),\ g _ 2=y$ とする. $(x,y)$ が極大点ならば, ある $\lambda _ 1,\ \lambda _ 2$ があって,

${ \displaystyle \begin{eqnarray} & &\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\mathrm{x}}}=[-1\ 1]=\lambda _ 1 [\mp 3x ^ 2\ -3y ^ 2] + \lambda _ 2 [0\ 1]\\ &\Leftrightarrow& -1=\mp 3\lambda _ 1 x ^ 2 \land 1=-3\lambda _ 1 y ^ 2+\lambda _ 2 \end{eqnarray} }$

かつ $\lambda _ 1 g _ 1=\lambda _ 2 g _ 2=0,\ g _ 1,\ g _ 2 \geqq 0,\ \lambda _ 1,\ \lambda _ 2 \leqq 0.$

$\lambda _ 1 \neq 0$ より $g _ 1=0 \Leftrightarrow \pm x ^ 3+y ^ 3=1.$ $\lambda _ 2=0$ とすると $\displaystyle \lambda _ 1=\pm \frac{1}{3x ^ 2}=-\frac{1}{3y ^ 2}$ より $\pm y ^ 2=-x ^ 2$ ゆえ複号は負でなければならない $(x \leqq 0).$

このもとで $x ^ 2=y ^ 2 \Leftrightarrow -x=y\ (\because y \geqq 0)$ だから $-x ^ 3-x ^ 3=1 \Leftrightarrow x=-1/\sqrt[3]{2}.$ ゆえに $y=1/\sqrt[3]{2}.$

$\lambda _ 2 \neq 0$ とすると $g _ 2=0 \Leftrightarrow y=0.$ このとき $\lambda _ 2=1$ だが, これは $\lambda _ 2 \lt 0$ に反する. よって $(-1/\sqrt[3]{2},1/\sqrt[3]{2})$ が唯一の候補で, $\Omega$ が閉ゆえこれは最大点である.

$\therefore \boldsymbol{(-1/\sqrt[3]{2},1/\sqrt[3]{2})}$ で最大値 $\boldsymbol{\sqrt[3]{4}.}$

$(x,y)$ が極小値ならば, 上で $\lambda _ 1, \lambda _ 2 \geqq 0$ とすればよいが, 上と同様の推論によって $(-1/\sqrt[3]{2},1/\sqrt[3]{2})$ は候補点である. $\lambda _ 2 \neq 0$ とする. $y=0,\ \lambda _ 2=1\ (\gt 0)$ で, このときは $x ^ 3=\pm 1 \Leftrightarrow x=\pm 1.$ ゆえに $(\pm 1,0)$ が候補に加わる. これらのなかに最小点があるのだから,