而して

ノートとかメモとか。

集合論入門メモ

赤攝也先生の『集合論入門』（ちくま学芸文庫）についてのメモ.

2^ {|A|}=|2^ A|

特性関数が一対一...みたいなところがよう分からんかったので, もう少しあからさまな証明をかいておく.

(\because)\ |\{0,1\}^ A|=2^ {|A|} だから, 示すべくは \{0,1\}^ A \sim 2^ A.

任意に B \in 2^ A をとる. しからば,

{ f(x)=\begin{cases} \ 1\ \ (x \in B), \\ \ 0\ \ (x \notin B) \end{cases} }

なる関数 f:A\rightarrow \{0,1\} がただ一つ定まる.

このような f をすべて集めた集合を C とすると, { \begin{equation} 2^ A \sim C,\ C \subseteq \{0,1\}{ ^ A}. \end{equation} }

\therefore |2^ A| \leq |\{0,1\}^ A|.

他方, 任意に f{^\prime} \in \{0,1\}^ A をとる. しからば, 集合 \{x \in A ; f{^\prime}(x)=1\} がただ一つ定まる.

このような集合をすべて集めた集合を S とすると, { \begin{equation} \{0,1\}^ A \sim S, S \subseteq 2^ A. \end{equation} }

\therefore |\{0,1\}^ A| \leq |2^ A|.

ゆえに, Bernsteinの定理から |\{0,1\}^ A| = |2^ A| がしたがう. 終