確率の入試問題

ジョーカーをのぞいたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し, 表を見ないで箱の中にしまった. そして, 残りのカードをよくきってから3枚抜きだしたところ, 3枚ともダイヤであった. このとき箱の中のカードがダイヤである確率を求めよ. [早大]

という入試問題について, W.Fellerの説明する古典的な確率論に沿って解答してみたい.

（解答） かかる52枚を $a _ 1, \ldots, a _ {52}$ とかくとき, 最初に抜き出す1枚と後に抜き出す3枚の結果を左から順に並べれば, 4次元横ベクトルに対応させることができる. このとき, 標本空間（起こり得るすべての結果を集めた集合） $\Omega$ は

$\Omega = \{ (a _ {i _ 1}, a _ {i _ 2}, a _ {i _ 3}, a _ {i _ 4}); 1 \leqq i _ {j} \leqq 52, i _ {j} \neq i _ {k} (j \neq k)\}$

と表現できて, $|\Omega| = 52\times 51 \times 50\times 49.$ いずれの標本（ $\Omega$ の元）も同等の確率を持つから（どれかが優位であるということはないから）, かかる試行は同様に確からしい. ゆえに各標本は一様に $1/|\Omega|$ の確率を持つ.

$\Omega$ のうち, $a _ {i _ 2}, a _ {i _ 3}, a _ {i _ 4}$ がダイヤである事象（ $\Omega$ の部分集合）を $A$ とし, $a _ {i _ 1}$ がダイヤである事象を $B$ とすれば, 求める確率は $P(B|A) = P(A\cap B)/P(A).$