而して

ノートとかメモとか。

複素積分の典型問題

\displaystyle I = \int _ {0} ^ {2\pi} \dfrac{dt}{1-2a\cos{t} + a ^ 2}\ (|a|\neq 1)

 を求めたいと思います。大学1年生で習う u = \tan{t} の置換でも解けますが、複素積分で解くと気持ち良いです。

（解答）

I = \displaystyle \int _ {0} ^ {2\pi} {\dfrac{dt}{1-a(e ^ {it}+e ^ {-it})+a ^ 2}} =\int _ {0} ^ {2\pi} {\dfrac{-e^{it}}{ae ^ {2it} - (a ^ 2 + 1)e ^ {it} + a}dt}

\displaystyle  = i\int _ {0} ^ {2\pi} {\dfrac{ie ^ {it}}{(ae ^ {it} - 1)(e ^ {it} - a)}}dt = i\int _ {\partial U(0,1)} {\dfrac{dz}{(az-1)(z-a)}}.

被積分関数を部分分数分解する. 

\dfrac{A}{az-1} + \dfrac{B}{z-a} = \dfrac{1}{(az-1)(z-a)}

で両辺の分母を払えば, 

A(z-a) + B(az-1) = 1

となるので, z, 1 の係数を両辺で比較すれば, それぞれ A+aB=0, -aA-B=1 を得る. 行列で書けば, 

{\left[ \begin{array}{cc} 1 & a \\ -a & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} A \\ B \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] }

となる. 左辺の行列の行列式は -1 + a ^ 2 \neq 0 だから, 逆行列が存在して,

{ \left[ \begin{array}{c} A \\ B \end{array} \right] = \dfrac{1}{a ^ 2 - 1} \left[ \begin{array}{cc} -1 & -a \\ a & 1 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] = \dfrac{1}{a ^ 2 - 1} \left[\begin{array}{c} -a \\ 1 \end{array}\right] }

となるから, 結局,

\displaystyle I = \dfrac{-ia}{a ^ 2 - 1} \underline{\int _ {\partial U(0,1)} {\dfrac{dz}{az-1}}} _ {J} + \dfrac{i}{a ^ 2 - 1} \underline{\int _ {\partial U(0,1)} {\dfrac{dz}{z-a}}} _ {K}.

D = \overline{U(0,1)} とおく. ここで |a| \leqq 1 \land |1/a| \leqq 1 \Leftrightarrow |a|=1 だから, (a) a \in D \land 1/a \notin D, (b) a \notin D \land 1/a \in D のどちらか一方が成立するので, |a| \neq 1 のもとで場合を分ける.

(a) すなわち |a| \lt 1 のとき. 1/a \notin D だから, D ^ {\circ} 上で \dfrac{1}{az-1} が正則となるので, Cauchyの定理から J = 0. K = 2\pi i だから, I = \dfrac{2\pi}{1 - a ^ 2}.

(b) すなわち |a| \gt 1 のとき. a \notin D だから, D ^ {\circ} 上で \dfrac{1}{z-a} が正則となるので, Cauchyの定理から K = 0. J = 2\pi i / a だから, I = \dfrac{2\pi}{a ^ 2 - 1}. （答）

さて、何が気持ち良いのかというと、 |a| \neq 1 というひとつの条件が, ① a, 1/a の両方が U(0,1) に属さないこと②連立方程式の解の存在条件になっていることーという二つの有用な結果をもたらしているところで、この相性の良さは複素積分を経た計算でないと実感できない。この問題を作ることはいつの時代であっても出来たはずなのに、この |a| \neq 1 という仮定の効用は、「複素積分」という概念がなければ知ることができない。その点で、この定積分には先験的に複素積分という概念が埋め込まれていて、複素積分を使って解かれるのを待っていたかのようにも思える。そこが面白い。