而して

ノートとかメモとか。

チェビシェフ多項式①

c _ {k}(x)=\cos\left(k\cos ^ {-1}{x}\right) なる関数 c _ k:\,[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} を考える (k \in \mathbb{R})。

同時に s _ {k}:\,[-1,1] \rightarrow \mathbb{R},\,x \mapsto \sin\left(k\sin ^ {-1}{x}\right) を考え, 

e _ k(x) = c _ {k} (x) + i s _ {k} (x)

を定めると, これは極形式になっているから, 

e _ k(x) = (\cos\left(\cos ^ {-1}{x}\right)+i\sin\left(\cos ^ {-1}(x)\right)) ^ {k}
= (x + i \sqrt{1-x ^ 2}) ^ {k}

となり, かつ \overline{e _ k(x)} = (x - i \sqrt{1-x ^ 2}) ^ {k} だから, 

c _ k(x) = \frac{e _ k(x) + \overline{e _ k(x)}}{2} = \frac{(x+\sqrt{x ^ 2 - 1}) ^ k + (x - \sqrt{x ^ 2 - 1}) ^ k}{2}

が従う。この右辺は x \in \mathbb{R} \backslash [-1,1] でも実数値で定義される。分子を二項定理で展開すると, 二項係数を (n,k) などと横向きに書けば,

(x+\sqrt{x ^ 2 - 1}) ^ k + (x - \sqrt{x ^ 2 - 1}) ^ k
 = \sum _ {j = 0} ^ {k} (k,j) x ^ {k-j}(x ^ 2 - 1) ^ {j/2} + \sum _ {j = 0} ^ {k} (k,j) x ^ {k-j}(-1) ^ {j}(x ^ 2 - 1) ^ {j/2}

= \sum _ {j = 0} ^ {k} {(k,j) x ^ {k-j} (1 + (-1) ^ {j}) (x ^ 2 - 1) ^ {j/2}}

= \sum _ {j = 0 \\ \exists m,\,j = 2m} ^ {k} {(k,j) x ^ {k-j}(x ^ 2 - 1) ^ {m}}

となるから, k 次実係数多項式である。これを k 次のChebyshev多項式という。