Kerの生成元の問題

代数学のいわゆる典型問題だと思われるのですが、ちゃんと理解できたのでメモを残しておきます。

問題

$\mathbb{C}$ 代数の準同型 $\phi :\ \mathbb{C}[x,y,z] \rightarrow \mathbb{C}[t], x \mapsto t ^ 3, y \mapsto t ^ 4, z \mapsto t ^ 5$ について, $\mathrm{Ker}{(\phi)}$ の生成元は？

解答

記法の便宜で $f(x,y,z)$ などを $f ^ {x,y,z}$ とか $f$ などとかく. いま $f \in \mathrm{Ker}{(\phi)}$ をとって, $y ^ 2 - xz$ で割り算すれば

$f = g ^ {x,y,z}(y ^ 2 - zx) + h _ 1 ^ {x,z}y + h _ 2 ^ {x,z}$

と表せる. $h _ i$ を $x ^ 5 - z ^ 3$ （ $x, z$ のみで, かつ $\mathrm{Ker}(\phi)$ に属する多項式）で割り算して

$f = g(y ^ 2 - zx) + (p _ 1 ^ {x,z}(x ^ 5 - z ^ 3) + a _ {11} ^ {x} z ^ 2 + a _ {12} ^ x z + a _ {13} ^ x)y$

$\hspace{1in} + p _ 2 ^ {x,z}(x ^ 5 - z ^ 3) + a _ {21} ^ {x} z ^ 2 + a _ {22} ^ x z + a _ {23} ^ x$

となるので

$\phi(f) = (a _ {11} ^ {t ^ 3} t ^ {10} + a _ {12} ^ {t ^ 3} t ^ 5 + a _ {13} ^ {t ^ 3}) t ^ 4 + a _ {21} ^ {t ^ 3} t ^ {10} + a _ {22} ^ {t ^ 3} t ^ 5 + a _ {23} ^ {t ^ 3} = 0 _ {\mathbb{C}[t]}$

各項に含まれる $t ^ m$ の次数 $m$ について法を $3$ とする剰余を考えれば

$a _ {11} ^ {t ^ 3} t ^ {14} + a _ {22} ^ {t ^ 3} t ^ 5 = 0 _ {\mathbb{C}[t]},$ $a _ {12} ^ {t ^ 3} t ^ {9} + a _ {23} ^ {t ^ 3} = 0 _ {\mathbb{C}[t]},$ $a _ {21} ^ {t ^ 3} t ^ {10} + a _ {13} ^ {t ^ 3} t ^ 4 = 0 _ {\mathbb{C}[t]}$

が成立つので,

$a _ {11} ^ {x} x ^ 3 + a _ {22} ^ {x} = 0 _ {\mathbb{C}[x]}$ $a _ {12} ^ {x} x ^ {3} + a _ {23} ^ {x} = 0 _ {\mathbb{C}[x]}$ $a _ {21} ^ {x} x ^ {2} + a _ {13} ^ {x} = 0 _ {\mathbb{C}[x]}$

となる. 先の $f$ の式に代入すれば

$f = g(y ^ 2 - zx) + (p _ 1 y + p _ 2)(x ^ 5 - z ^ 3)$ $\hspace{1in} + (a _ {11} ^ {x} z ^ 2 + a _ {12} ^ x z + a _ {21} ^ x x ^ 2)y + a _ {21} ^ {x} z ^ 2 + a _ {11} ^ x x ^ 3 z + a _ {12} ^ x x ^ 3$