メモ（準同型定理）

Reference: 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』日本評論社, 2010.

定理2.12.11の証明で、最後の $\mathrm{Ker}(\phi) = ( (x-\lambda _ 1) ^ {p _ 1})$ だけ何でそうなるのかずっと分からなくて、それはもうずっと考えていたんですが、単純に線形代数の話だったので、戒めとしてメモをしておきます。

（補題）体 $K$ 上のベクトル空間 $V, W$ について, $\dim _ {K} {V} = \dim _ {K} {W} = n$ とすれば, $K$ 加群の準同型（つまり線形写像） $\phi :\ V \rightarrow W$ について, $\phi$ が全射であることと単射であることは同値である.

（証明） $V$ の基底を $v _ 1, \cdots, v _ n$ とすれば,

$\phi$ が全射

$\Leftrightarrow$ $\phi(V) = W$

$\Leftrightarrow$ $W = \langle \{\phi(v _ 1), \cdots, \phi(v _ n)\}\rangle$

$\Leftrightarrow$ $\phi(v _ 1), \cdots, \phi(v _ n)$ が $W$ 上で1次独立

$\Leftrightarrow$ $(\forall x = x _ 1 v _ 1 + \cdots + x _ n v _ n \in \mathrm{Ker}(\phi))$ $\hspace{1in} (\phi(x)=0 \Rightarrow x _ 1 = \cdots = x _ n = 0)$