而して

ノートとかメモとか。

二次曲面の接平面

目標。二次曲面

 {^t}xAx+2{^t}bx+c=0

接平面の方程式を求める。

準備

道具を揃えておこうと思う。まず、 a, b \in \boldsymbol{R}^n t の実変数ベクトル値関数として

 \displaystyle \frac{d}{dt}(a|b)=\left(\frac{da}{dt}|b\right)+\left(a|\frac{db}{dt}\right).\ \ \ (1)

証明はやさしい。

また、 A=(a _ 1\ a _ 2\ \cdots\ a _ n) \in M(m,n,\boldsymbol{R}) は定数行列で,  x={^t}(x _ 1, \cdots, x _ n) \in \boldsymbol{R} ^ n とするとき

 \displaystyle \frac{d}{dx _ i}(Ax)=\frac{d}{dx _ i}(x _ 1a _ 1+\cdots+a _ nx _ n)=a _ i.

とくに

 \displaystyle \frac{d}{dx _ i}(x)=e _ i.

二次曲面の接平面

 A \in M(n,n,\boldsymbol{R}) は対称行列:  a _ {ij} = a _ {ji}\ (i \neq j) で、 b \in \boldsymbol{R} ^ n,  c \in \boldsymbol{R}とするとき

 {^t}xAx+2{^t}bx+c=0\ \ \ (2)

なる  x \in \boldsymbol{R} ^ n の集合を二次曲面という。上式は標準内積を用いて、

 F(x)=(Ax|x)+2(b|x)+c=0

とかけることに注意する。

先に方針を述べておく。求める  x _ 0={^t}(x _ 1 ^ {0}, \cdots, x _ n ^ {0}) での(超)接平面の方程式は、 F(x)=0 x _ n について解いた  x _ n=\varphi(x _ 1,\cdots, x _ {n-1}) を用いて

 x _ n-x _ n ^ {0}=\varphi _ {x _ 1}(x _ 0)(x _ 1-x _ 1 ^ {0})+\cdots+\varphi _ {x _ n}(x _ 0)(x _ n - x _ n ^ {0})\ \ \ (3)

とかける。そこでまずは  \varphi x _ 0 での偏導値たちを求める。

さて、まず、われわれはこの式を  x _ n について解きたいのだが、 F x _ n偏微分すると、 (1) 式を用いて

 F _ {x _ n}=(a _ n|x)+(Ax|e _ n)+2(0+(b|e _ i))

ここで第2項について、 A は対称行列だから

 (Ax|e _ n)=(x|Ae _ n)=(x|a _ n)

となる。もどして整理すれば

 F _ {x _ n}=2( (a _ n|x)+(b|e _ n) ).

陰関数定理によれば、 F _ {x _ n}(x _ 0)\neq 0、すなわち

 (a _ n|x _ 0)+(b|e _ n) \neq 0 \ \ \ (4)

であれば  x _ 0 R ^ {n-1} での十分近傍  U x _ n について解くことができる。つまり、ある  \varphi: U \rightarrow \boldsymbol{R} が存在して  F(x _ 1, \cdots, x _ {n-1}, \varphi(x _ 1, \cdots, x _ {n-1}))=0, \ (\ {^t}(x _ 1, \cdots, x _ n) \in U) となる。

しかして、 F \boldsymbol{R} ^ n微分可能であるから  \varphi U微分可能である。

そこで、 G: U \rightarrow \boldsymbol{R}, (x _ 1, \cdots, x _ n) \mapsto F(x _ 1, \cdots, x _ {n-1}, \varphi(x _ 1, \cdots, x _ {n-1})) として、 x _ {i}\ (i=1, \ldots, n-1) たちによる偏導値  \varphi _ {x _ i}(x _ 0) をみる。 G が恒等的に  0 に等しいことに注意すれば、

 (a _ i+a _ n \varphi _ {x _ i}|x _ 0)+(Ax _ 0|e _ i+e _ n \varphi _ {x _ i})+2(b|e _ i+e _ n \varphi _ {x _ i})=0

 \therefore (a _ i+a _ n \varphi _ {x _ i}|x _ 0)=-(b|e _ i+e _ n \varphi _ {x _ i})

 \varphi _ {x _ i} について解けば

 \displaystyle \varphi _ {x _ i}=-\frac{(a _ i|x _ 0)+(b|e _ i)}{(a _ n|x _ 0)+(b|e _ n)}

をうる。 (3) 式へ代入して、

 \displaystyle x _ n - x _ n ^ {0}=-\frac{(a _ 1|x)+(b|e _ 1)}{(a _ n|x)+(b|e _ n)}(x _ 1-x _ 1 ^ {0})-\cdots-\frac{(a _ {n-1}|x)+(b|e _ {n-1})}{(a _ n|x)+(b|e _ n)}(x _ {n-1}-x _ {n-1} ^ {0})

移行して分母を払えば

 ( (a _ 1|x)+(b|e _ 1) )(x _ 1-x _ 1 ^ {0})+\cdots+((a _ n|x)+(b|e _ n) )(x _ n-x _ n ^ {0})=0.

内積を使えば

 {\displaystyle \left(
\begin{array}{c}
(a _ 1|x)+(b|e _ 1) \\
\vdots \\
(a _ n|x)+(b|e _ n)
\end{array}
\right) \cdot (x-x _ 0)=0
}

整理して

{ (\underline{\left(
\begin{array}{c}
^{t}a _ 1\\
\vdots\\
^{t}a _ n
\end{array}
\right)}x _ 0+b) \cdot (x-x _ 0)=0
}

ここで、下線部は  {^t}A つまり  A に等しいから

 (Ax _ 0+b|x-x _ 0)=0\ \ \ (5)

となる。 (4) 式のもとでは、これが求める接平面の式に他ならない。

One more thing...

 (5) 式を、もう少し調べてみよう。 (5) 式から、

 {
\begin{eqnarray}
& &(Ax_0+b|x)-(Ax _ 0+b|x _ 0)=0\\
&\Leftrightarrow& (Ax _ 0 | x)+(b|x)-(Ax _ 0 | x _ 0)-(b|x _ 0)=0\\
&\Leftrightarrow& (Ax | x _ 0)+(b|x)+(b|x _ 0)+c=0.\ \ \ (6)
\end{eqnarray}
}

ただし最後の変形は  x _ 0 (2) 式を満たすことを用いている。そして、 A は対称行列だから

 { 
\begin{eqnarray}
(x _ 0|Ax)&=&\sum _ {i,j=1} ^ {n} {a _ {ij}x _ {i}x _ {j} ^ {0}}\\
&=&\sum _ {i=1} ^ {n} {a _ {ii}x _ {i}x _ {i} ^ {0}}+\sum _ {i < j} ^ {n} {a _ {ij} x _ {i} x _ {j} ^ {0}} + \sum _ {i < j} ^ {n} {a _ {ij}x _ {i} ^ {0}x _ {j}} \ \ \ (7)
\end{eqnarray}
}

となる。

実例に移ろう。

ex.  x ^ 2+y ^ 2 + 2z ^ 2 -4xy + 6yz + 8zx + 4x -2y +2z+3=0\ \ \ (9)

 (x _ 0, y _ 0, z _ 0) での接平面の方程式。

 (6) 式によれば、

同じ文字どうしの  2 次の項は  \boldsymbol{x} ひとつを  \boldsymbol{x _ 0} に、

異なる文字どうしの  2 次の項は、半分にして、片方ずつを  \boldsymbol{x _ 0} に、

 1 次の項は  2\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x _ 0} に、

それぞれ取り替えればよいから

 {x _ 0 x+y _ 0y+2z _ 0z\\
\ \ -2(x _ 0y+xy _ 0)+3(y _ 0z+yz _ 0)+4(z _ 0x+zx _ 0)\\
\ \ +2(x+x _ 0)-(y+y _ 0)+(z+z _ 0)+3=0.}

整理して

 { (x _ 0+2y _ 0+4z _ 0+2)x+(-2x _ 0+y _ 0+3z _ 0-1)y\\
+(4x _ 0+3y _ 0+2z _ 0+1)z+(2x _ 0-y _ 0+z _ 0+3)=0.\ \ \ (10)
}

まるで平面の式が5個あるみたい。

さて、少なくとも  (4) 式を満たしていれば、 (10) 式は  (9)接平面であるといえる。すなわち、 x _ 0

 4x+3y+2z+1=0\ \ \ (11)

上の点でなければ、 (10) 式は  (9)接平面である。

下図はQuick Graphで描いた  (9), (11) 式の概形である。2つの交点では「接する平面」を描こうとすると、  xy 平面に垂直になることが直感的に分かるだろう。

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