ceil(x/(ab))=ceil(ceil(x/a)/b)

面白い証明を見つけたのでメモします。出典は↓

math.stackexchange.com

任意の $x \in \mathbb{R}$ と整数 $a \gt 0$ , $b \gt 0$ について,

$\left\lceil \dfrac{\lceil x / a \rceil}{b} \right\rceil = \left\lceil \dfrac{x}{ab}\right\rceil$

を示せ.

証明. まず, 任意の整数 $n$ と実数 $x$ について, 同値 $n \geqq x \Longleftrightarrow n \geqq \lceil x \rceil$ を示す. $x \leqq \lceil x \rceil$ だから $\Longleftarrow$ は明らか. 逆に $n \geqq x$ ならば, ceil関数の定義から $S =\{m \in \mathbb{Z} ;\ x \leqq m \}$ として $\lceil x \rceil = \min S$ かつ $n \in S$ であるから $n \geqq \lceil x \rceil$ .

したがって, 任意の整数 $k \in \mathbb{Z}$ について, 次の同値が成立つ：

$k \geqq \lceil \lceil x/a \rceil /b \rceil$ $\Longleftrightarrow$ $k \geqq \lceil x /a \rceil / b$ $\Longleftrightarrow$ $bk \geqq \lceil x / a \rceil$ $\Longleftrightarrow$ $bk \geqq x/a$ $\Longleftrightarrow$ $k \geqq x / (ab)$ $\Longleftrightarrow$ $k \geqq \lceil x / (ab) \rceil$ .

特に $\lceil \lceil x/a \rceil /b \rceil \geqq \lceil x / (ab) \rceil$ と $\lceil x / (ab) \rceil \geqq \lceil \lceil x/a \rceil /b \rceil$ が成立つので, 結論を得る. 終

而して

ノートとかメモとか。

ceil(x/(ab))=ceil(ceil(x/a)/b)