極限の問題 - 而して

（問題） $\displaystyle \lim _ {n\to\infty} \left(1-\dfrac{1}{n}\right) ^ {n ^ 2} e ^ {n}$ を求めよ.

（コメント）ついさっき締切られたレポートの問題を解くのに必要になった問です。僕なんかはこれ「 $\left\{\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) ^ {-n}\right\} ^ {-n} e ^ {n}$ で、 $n \to \infty$ のとき $e ^ {-n} \times e ^ {n}$ みたいなものだから $1$ だ」と高を括ってしまいましたが、そうじゃないんですね。答を見れば分かりますが、 $\displaystyle \left(1-\dfrac{1}{n}\right) ^ {n ^ 2}$ の方が $e ^ {-n}$ よりも減りが大きいぽいです。同じような問題をやさ理かハイ理で見かけて、同じように間違えた気がします。今ならちゃんと説明できるので、戒めとして記します。

（解答）あとで $t = 1/n$ とおけばよいので, まず $(1-t) ^ {1/{t ^ 2}}$ の $t \rightarrow 0$ における極限を求める. $\log$ をとれば $\dfrac{\log{(1-t)}}{t ^ 2}$ となるが, Taylorの公式から,

（ $\displaystyle \log{(1+x)} = \sum _ {n = 1} ^ {\infty} {\dfrac{(-1) ^ {n-1}}{n}x ^ n}$ であったから）

$\log{(1-t)} = -t -\dfrac{t ^ 2}{2} +o(t ^ 2) \hspace{0.1in} (t \to 0)$

であり, $\dfrac{\log{(1-t)}}{t ^ 2} = -\dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{2} + o(1). \hspace{0.1in} (t \to 0)$ よって,

$(1-t) ^ {1/{t ^ 2}} = e ^ {\frac{\log{(1-t)}}{t ^ 2}} = e ^ {-1/t-1/2+o(1)} \Longleftrightarrow (1-t) ^ {1/{t ^ 2}} e ^ {1/t} = e ^ {-1/2 + o(1)}. \hspace{0.1in} (t \to 0)$