シグマの掛け算

$\displaystyle \left(\sum _ {i=0} ^ {M} {a _ i}\right)\left(\sum _ {j=0} ^ {N} {b _ j}\right) = \sum _ {n=0} ^ {M+N} {\sum _ {\substack{i+j=n \\ 0 \leqq i \leqq M \\ 0 \leqq j \leqq N}} {a _ i b _ j}}$

という公式を見ると少し尻込みしますが、案外大切な公式（特に $M, N \to \infty$ を考えるとき）なので、メモをしておきます（Googleで調べてみたけど意外と記事がなかった）。

まず、一般に $\displaystyle \sum _ {(i,j) \in D} {a _ {ij}}$ というのは、「 $(i,j) \in D$ なるすべての $i, j$ に対する $a _ {ij}$ の和」という意味です。集合 $D$ を決定する条件のみを書くときもあります。今の場合は $D = \{(i,j)\ |\ i + j = n \land i, j \geqq 0\}$ の条件のみを記している、ということになります。

冒頭の公式は式からではなく、座標平面から理解すると良いです。左辺は $\displaystyle \sum _ {i=0} ^ {M} \sum _ {j=0} ^ {N} {a _ i b _ j}$ ですから、 $(0,0)$ から $(M,N)$ までのすべての格子点 $(i,j)$ について和をとるということです。

例えば、図では $M=5, N=4$ の場合で、このときなら $6\times 5 = 30$ 個の格子点について和をとるということになります（添字が0からスタートしていることに注意）。

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冒頭の公式は、要するに和の取り方を変えているだけです。図のように傾き $-1$ の直線を、 $30$ 個すべての格子点が埋まるように引くとき、直線は $i+j = 0,\ i+j = 1,\ \cdots,\ i+j=M+N=9$ だけ必要になります。そこで、右辺の $0, 1, \cdots, M+N$ を $n$ でパラメータ化して、その直線ごとに $a _ i b _ j$ の和を取っているだけなのです。

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特に $\displaystyle c_n = \sum _ {\substack{i+j=n \\ 0 \leqq i \leqq M \\ 0 \leqq j \leqq N}} {a _ i b _ j}$ とおいて、 $\displaystyle \sum _ {i=0} ^ {\infty} {a _ i},\ \sum _ {j=0} ^ {\infty} {b _ j},\ \sum _ {n=0} ^ {\infty} {c _ n}$ が（何らかの方法で）すべて収束すると分かっている場合には、冒頭の公式の両辺で $M, N \to \infty$ として、