局所化の問題（演習1.8.5）

Reference: 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』日本評論社, 2010.

代数を学び始めてから、最近、同じ問題をずっと考え続けている事が多い。実数論や解析の場合、信じられない結果や定理が得られたとしても、自明とはいえない「連続性の公理」の輸入を認めたことによって生じているのだと、何となく納得することができるが、代数学の場合、仮定するのは自然な条件ばかりで、それを元手として様々な対象に名前を付けていっただけなのに、どうしてここまで難しく感ぜられるのかとても不思議でならない。どこかで「人間の思考路は演繹よりも帰納する」旨の文章を見た記憶があるが、きっとこの類の現象が一枚噛んでいそう。人間というのは多様な例から本質を見出すのが得意な生物だから。

問題

$A$ を環, $f \in A$ を零因子でない元とするとき, $A[1/f] \cong A[x]/(fx-1)$ であることを証明せよ. （演習1.8.5）

解答

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図を考えれば, $\pi(f) = f + (fx-1)$ について $(f+(fx-1))(x+(fx-1))=fx+(fx-1)=1+(fx-1)$ であるから, $\pi(f)$ は単元であるので, $\pi(f ^ m) = \pi(f) ^ m\ (m=0,1,2,\cdots)$ は単元となる. 局所化の普遍性から準同型 $\psi:\ A[1/f] \rightarrow A[x]/(fx-1),\ a/s \mapsto \pi(a)/\pi(s)$ が存在して,

$\psi(1/f) = \pi(1)/\pi(f) = 1/(f+(fx-1)) = x + (fx-1)$

である.

（これが全単射であることを示そうとすると議論がやかましくなる）

$\phi:\ A[x]/(fx-1) \rightarrow A[1/f],\ x + (fx-1) \mapsto 1/f$ は準同型で, $\psi$ の逆写像だから, $A[1/f] \cong A[x]/(fx-1)$ . （終）

局所化の普遍性を用いる上で, 準同型写像 $\varphi:\ A \rightarrow A[x]/(fx-1)$ をどうとるか迷った. 生じる $\psi$ が $\psi(a/s)=\varphi(a)/\varphi(s)$ となる点で, $\psi$ の「表現力」に影響を及ぼすからである.

考え方だが, $A[1/f] \rightarrow A[x]$ という準同型写像として「 $1/f$ に $x$ を代入する」つまり「 $f$ に $1/x$ を代入する」ようなものがまず浮かんでくる. この問題の鍵は, $1/f$ と $x$ , または $f$ と「 $1/x$ 」をどうやって対応させるかという点に尽きる. もちろん $1/f$ は $A[1/f]$ 上の概念であるし, 「 $1/x$ 」についてはどこにも現れていない概念なので, 直接に代入することはできないが, $1/f$ や「 $1/x$ 」を表現するために $(fx-1)$ による $A[x]$ の剰余環を考えているのだと分かる. そこで, $A[x]/(fx-1)$ 上で, 「 $1/x$ 」に対応する概念は何かというのを考えてみれば, $(f+(fx-1))(x+(fx-1))=1+(fx-1)$ が成立つのだから, $f+(fx-1)$ と $x+(fx-1)$ は逆元の関係にあるので, ちょうど「 $1/x$ 」と $f+(fx-1)$ が対応している（ $f+(fx-1)$ が「 $1/x$ 」を表現してくれている）. そこで $\varphi$ が $A \ni f \mapsto f + (fx-1) \in A[x]/(fx-1)$ と対応づけてくれたら, $\varphi$ の「分数形」である $\psi$ も同様の対応を表現できるはずである. だから, $\varphi$ を $A$ から $A[x]/(fx-1)$ への自然な準同型 $\pi$ として取る発想に至る.