加比の理の条件

加比の理を、

$a, b, c, d \in \mathbb{R}$ について, $a, c, a + c \neq 0$ かつ $\dfrac{b}{a} \lt \dfrac{d}{c}$ ならば $\dfrac{b}{a} \lt \dfrac{b + d}{a + c} \lt \dfrac{d}{c}$ が成立つ

とする人がいますが、例えば $\dfrac{2}{3} \lt 1 = \dfrac{-1}{-1}$ だから $\dfrac{2}{3} \lt \dfrac{2-1}{3-1} = \dfrac{1}{2} \lt 1$ となるので誤りです。

いま、

$\dfrac{b}{a} \lt \dfrac{d}{c}$ $\Longleftrightarrow$ $\dfrac{d}{c} - \dfrac{b}{a} = \dfrac{ad - bc}{ac} \gt 0$ （＊）

が成立するので、

$\dfrac{b}{a} \lt \dfrac{b + d}{a + c}$ $\Longleftrightarrow$ $\dfrac{b + d}{a + c} - \dfrac{b}{a} = \dfrac{ad - bc}{a(a + c)} \gt 0$ （＊＊）

であることから、

① $a \gt 0,\ c \gt 0$ なら（このときは $a + c \gt 0$ ）、（＊）から $\dfrac{ad - bc}{a} \gt 0$ であるので（＊＊）の右辺が成立して○。

② $a \lt 0,\ c \lt 0$ なら（このときは $a + c \lt 0$ ）、同様に考えて○。

③ $a \gt 0,\ c \lt 0$ なら、 $a + c \gt 0$ のときは○で、 $a + c \lt 0$ のときは×。

④ $a \lt 0,\ c \gt 0$ なら、 $a + c \gt 0$ のときは×で、 $a + c \lt 0$ のときは○。

また、同様にして、

$\dfrac{d}{c} \gt \dfrac{b + d}{a + c}$ $\Longleftrightarrow$ $\dfrac{d}{c} - \dfrac{b + d}{a + c} = \dfrac{ad - bc}{c(a + c)} \gt 0$ （＊＊＊）

であることから、

① $a \gt 0,\ c \gt 0$ なら（このときは $a + c \gt 0$ ）、○。

② $a \lt 0,\ c \lt 0$ なら（このときは $a + c \lt 0$ ）、○。

③ $a \gt 0,\ c \lt 0$ なら、 $a + c \gt 0$ のときは×で、 $a + c \lt 0$ のときは○。

④ $a \lt 0,\ c \gt 0$ なら、 $a + c \gt 0$ のときは○で、 $a + c \lt 0$ のときは×。

以上から、（＊＊）かつ（＊＊＊）が成立つための十分条件として、「 $a \gt 0,\ c \gt 0$ または $a \lt 0,\ c \lt 0$ 」 $\Longleftrightarrow$ $ac > 0$ であればよいので、加比の理は、

$a, b, c, d \in \mathbb{R}$ について, $a, c, a + c \neq 0$ かつ $ac > 0$ かつ $\dfrac{b}{a} \lt \dfrac{d}{c}$ ならば $\dfrac{b}{a} \lt \dfrac{b + d}{a + c} \lt \dfrac{d}{c}$ が成立つ

とかけます。

而して

ノートとかメモとか。

加比の理の条件